\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx} % 如果还没添加，这是插入图片必需的包
\usepackage{subcaption} % 添加 subcaption 宏包

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\footnote{参考：安宇等人《大学物理》课程。本文由AI辅助完成。\textsl{基本都是AI写的}}	
	关于狭义相对论，前人之述备矣。因此点到为止。
	
	\section{狭义相对论的基本假设}
	
	狭义相对论基于两个基本假设:
	\begin{itemize}
		\item \textbf{相对性原理}：
		相对性原理指出，所有惯性参考系中物理定律的形式都是相同的。
		处于不同惯性参考系的观察者可能看到物理量不同的具体值，但不会看到不同的物理规律。
		
		\item \textbf{光速不变原理}：
		光速不变原理指出，在任何惯性参考系中，光在真空中的传播速度都是一个常数 $c \approx 3 \times 10^8$ 米/秒，
		且这个速度与光源和观察者的相对运动无关。
	\end{itemize}
	
	这两个基本假设共同构成了狭义相对论的理论基础。
	在经典力学中，我们也认可第一个假设（比如，不同惯性参考系中都有$F=ma$）。
	因此，狭义相对论最微妙的假设是，“光速是不变的”。
	
	\newpage
	\section{Lorentz变换}
	
	狭义相对论下，Lorentz变换描述了两个惯性参考系之间时空坐标转换规律。
	
	\begin{figure}[htbp] % htbp 是 here, top, bottom, page 的缩写，让 LaTeX 尽量把图放在这里
		\centering % 让整个图居中
		
		% --- 第一个子图 ---
		\begin{subfigure}[b]{0.45\linewidth} % [b] 表示子图的底部对齐，宽度为行宽的45%
			\centering
			\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{pic0} % 图片宽度填满子图宽度
			\caption{示意图1} % 子图的标题
			\label{fig:sub1} % 子图的标签，用于独立引用
		\end{subfigure}
		\hfill % 水平填充，将两张图推开
		% --- 第二个子图 ---
		\begin{subfigure}[b]{0.45\linewidth}
			\centering
			\includegraphics[width=0.6 \linewidth]{pic1.1}
			\caption{示意图2}
			\label{fig:sub2}
		\end{subfigure}
		
		\caption{示意图} % 整个图的标题
		\label{fig:pic1} % 整个图的标签
	\end{figure}
	
	假设我们有两个惯性参考系，$S1$与$S2$，且$S2$系以速度 $u$ 沿 $x$轴正方向 相对于$S1$系匀速直线运动，且在$t^{(1)}=t^{(2)}=0$时二者重合。
	此外，假设我们在$S1$系中看到某一“事件”发生在$t^{(1)}$时刻，位于$\bvec r^{(1)} = (x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})$处，
	而在$S2$系中看到同一“事件”发生在$t^{(2)}$时刻，位于$\bvec r^{(2)} = (x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)})$处，
	那么这一事件在两个参考系下的坐标满足Lorentz变换
	(作为对比，经典力学的Galilean变换列举在右侧)：
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{小结} % 设置表格标题
		\label{tab:summary} % 设置标签，用于交叉引用
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			& Lorentz & Galilean \\
			\hline
			$x^{(1)} \to x^{(2)}$
			&
			$
			\begin{aligned}
				x^{(2)} &= \gamma (x^{(1)} - ut^{(1)}) \\
				y^{(2)} &= y^{(1)} \\
				z^{(2)} &= z^{(1)} \\
				t^{(2)} &= \gamma \left(t^{(1)} - \frac{ux^{(1)}}{c^2}\right)
			\end{aligned}
			$
			&
			$
			\begin{aligned}
				x^{(2)} &= x^{(1)} - ut^{(1)} \\
				y^{(2)} &= y^{(1)} \\
				z^{(2)} &= z^{(1)} \\
				t^{(2)} &= t^{(1)}
			\end{aligned} 
			$\\
			\hline 
			$x^{(2)} \to x^{(1)}$
			&
			$
			\begin{aligned}
				x^{(1)} &= \gamma (x^{(2)} + ut^{(2)}) \\
				y^{(1)} &= y^{(2)} \\
				z^{(1)} &= z^{(2)} \\
				t^{(1)} &= \gamma \left(t^{(2)} + \frac{ux^{(2)}}{c^2}\right)
			\end{aligned}
			$
			&
			$
			\begin{aligned}
				x^{(1)} &= x^{(2)} + ut^{(2)} \\
				y^{(1)} &= y^{(2)} \\
				z^{(1)} &= z^{(2)} \\
				t^{(1)} &= t^{(2)}
			\end{aligned} 
			$\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	其中，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$是Lorentz因子，
	$c$是光速，
	$u$是S2系相对于S1系的速度。
	
	在耳熟能详的Galilean变换下，时间是“绝对的”，在不同参考系将观察到相同的时间；
	而非常神奇的是，在Lorentz变换下，时空的变换是一体化的，时间是与参考系与位置有关的。
	因此在相对论性的科学中，我们一般同时处理时间与空间的变换。
	当然在狭义相对论下，时间和空间还是有一点微妙的区别。
	
	作为初学者，我建议把Lorentz变换抄在草稿的旁边方便随时查阅。
	
	\newpage
	\subsection{矩阵形式的Lorentz变换}
	我们可以把上述公式压缩为矩阵乘法形式：
	\begin{equation}
		x^{(2)} = L x^{(1)} 
		\quad
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & -\frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			-\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	\begin{equation}
		x^{(1)} = L^{-1} x^{(2)} 
		\quad
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & \frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	注意我们对时间分量乘以了$c$，并且从$S2 \to S1$与$S1 \to S2$的Lorentz矩阵互为逆矩阵，
	毕竟从物理上讲，切换参考系应该是可逆的。
	可见，Lorentz变换及其逆变换非常对称。
	如果你按类似方式写下Galilean变换的矩阵，你会发现Lorentz变换甚至比Galilean变换更对称！
	
	在上述过程中，我们自然地把事件发生的时刻$t$和其空间坐标$(x,y,z)$压缩为了一个统一的、具有四个分量的向量，
	如$x^{(1)} = (ct^{(1)},x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})$等，这被称为事件的时空坐标，或者4-坐标。
	4-坐标可以理解为位矢在相对论下的推广。
	这么做是有好处的，这无疑简化了时空坐标以及Lorentz变换的表述，
	此外，我们在隔壁笔记中会见到4-向量的更多良好性质和运用。
	
	
	\newpage
	\section{应用Lorentz变换}
	我们举一些简单的例子以说明Lorentz变换的奇妙性质。这些例子在大学物理中是非常常见的。
	以下记$\beta = \frac{u}{c}$。
	
	\subsection{钟慢效应}
	仍然假设我们有惯性参考系$S1,S2$，且$S2$以速度$u$相对$S1$向右运动等。
	
	假设有一个灯被固定在$S2$参考系的原点，即其坐标在$S2$看来始终有$x^{(2)}=y^{(2)}=z^{(2)}=0$。
	我们假定在$S2$看来，灯在$t^{(2)}_1$时刻闪烁了一次，又在$t^{(2)}_2$时刻闪烁了一次。
	在$S2$看来，闪烁的时间间隔为$\Delta t^{(2)}=t^{(2)}_2-t^{(2)}_1$。
	那么请问在$S1$下看来，灯的闪烁时间间隔是？
	
	灯第一次闪烁时，其$S2$坐标是$(ct_1^{(2)},0,0,0)^T$，变换到$S1$:
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix}
			ct_1^{(1)} \\
			x_1^{(1)} \\
			y_1^{(1)} \\
			z_1^{(1)}
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			ct_1^{(2)} \\
			0 \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma ct_1^{(2)} \\
			\beta\gamma ct_1^{(2)} \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	灯第二次闪烁时，其$S2$坐标是$(ct_2^{(2)},0,0,0)^T$，变换到$S1$:
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix}
			ct_2^{(1)} \\
			x_2^{(1)} \\
			y_2^{(1)} \\
			z_2^{(1)}
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			ct_2^{(2)} \\
			0 \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma ct_2^{(2)} \\
			\beta\gamma ct_2^{(2)} \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	因此，在S1参考系中，两个事件的时间间隔为：
	\begin{equation}
		\Delta t^{(1)} = t_2^{(1)} - t_1^{(1)} = \gamma( t_2^{(2)} - t_1^{(2)})= \gamma \Delta t^{(2)} > \Delta t^{(2)}
	\end{equation}
	在$S1$系看来，运动的灯的闪烁时间间隔更长了！这就是钟慢效应。
	请注意，在$S2$自己看来，时间的“流速”仍是“正常”的；
	只是在$S1$看$S2$时，$S1$的观察者觉得$S2$的时钟变慢了。
	
	\subsection{同时性的相对性}
	我们假设在$S2$参考系中，有两个灯分别固定于$x_1^{(2)}$和$x_2^{(2)}$位置，
	在$t^{(2)}$时刻同时发光。
	我们需要计算这两个事件在$S1$参考系中的时间间隔，以展示同时性也是相对的。
	
	第一个灯在$S2$参考系中的坐标为$(ct^{(2)}, x_1^{(2)}, 0, 0)^T$，变换到$S1$参考系：
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix}
			ct_1^{(1)} \\
			x_1^{(1)} \\
			y_1^{(1)} \\
			z_1^{(1)}
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			ct^{(2)} \\
			x_1^{(2)} \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma (ct^{(2)} + \beta x_1^{(2)}) \\
			\gamma (\beta ct^{(2)} + x_1^{(2)}) \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	第二个灯在$S2$参考系中的坐标为$(ct^{(2)}, x_2^{(2)}, 0, 0)^T$，变换到$S1$参考系：
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix}
			ct_2^{(1)} \\
			x_2^{(1)} \\
			y_2^{(1)} \\
			z_2^{(1)}
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			ct^{(2)} \\
			x_2^{(2)} \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma (ct^{(2)} + \beta x_2^{(2)}) \\
			\gamma (\beta ct^{(2)} + x_2^{(2)}) \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	因此，在$S1$参考系中，两个事件的时间间隔为：
	\begin{equation}
		\Delta t^{(1)} = t_2^{(1)} - t_1^{(1)} = \frac{\gamma (ct^{(2)} + \beta x_2^{(2)}) - \gamma (ct^{(2)} + \beta x_1^{(2)})}{c} = \frac{\gamma \beta (x_2^{(2)} - x_1^{(2)})}{c}
	\end{equation}
	（除以$c$是因为Lorentz中的$t$是作为$ct$项出现）可以看到，即使在$S2$参考系中两个事件是同时发生的（即$\Delta t^{(2)} = 0$），在$S1$参考系中，它们的时间间隔为：
	如果$x_2^{(2)} \neq x_1^{(2)}$，则$\Delta t^{(1)} \neq 0$，即在$S1$参考系中，这两个事件不是同时发生的。
	
	这表明在相对论中，同时性也是相对的：
	在一个参考系中同时发生的两个事件，在另一参考系中可能不同时发生。
	
	\subsection{相对论速度叠加原理}
	假设我们有一个粒子。
	在$S2$参考系中，在$t^{(2)}_1$时刻其位于$(x^{(2)}_1, y^{(2)}_1, z^{(2)}_1)$；
	在$t^{(2)}_2$时刻其运动到$(x^{(2)}_2, y^{(2)}_2, z^{(2)}_2)$。
	那么请问在$S1,S2$中，粒子的速度是什么？
	
	在$t^{(2)}_1$时刻，粒子在$S2$参考系中的坐标为$(ct^{(2)}_1, x^{(2)}_1, y^{(2)}_1, z^{(2)}_1)$，
	变换到$S1$参考系：
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix} 
			ct_1^{(1)} \\ 
			x_1^{(1)} \\ 
			y_1^{(1)} \\ 
			z_1^{(1)}
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\ 
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)}_1 \\ 
			x^{(2)}_1 \\ 
			y^{(2)}_1 \\ 
			z^{(2)}_1 
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma (ct^{(2)}_1 + \beta x^{(2)}_1) \\ 
			\gamma (\beta ct^{(2)}_1 + x^{(2)}_1) \\ 
			y^{(2)}_1 \\ 
			z^{(2)}_1 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	在$t^{(2)}_2$时刻，粒子在$S2$参考系中的坐标为$(ct^{(2)}_2, x^{(2)}_2, y^{(2)}_2, z^{(2)}_2)$，
	变换到$S1$参考系：
	\begin{equation}
		\begin{pmatrix} 
			ct_2^{(1)} \\ 
			x_2^{(1)} \\ 
			y_2^{(1)} \\ 
			z_2^{(1)}
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\ 
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)}_2 \\ 
			x^{(2)}_2 \\ 
			y^{(2)}_2 \\ 
			z^{(2)}_2 
		\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma (ct^{(2)}_2 + \beta x^{(2)}_2) \\ 
			\gamma (\beta ct^{(2)}_2 + x^{(2)}_2) \\ 
			y^{(2)}_2 \\ 
			z^{(2)}_2 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	我们知道，速度是路程除以通过这段路程所耗的时间：
	\begin{equation}
		v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}
	\end{equation}
	那么在$S2$参考系中，观察到粒子的速度为：
	\begin{equation}
		v_x^{(2)} = \frac{x^{(2)}_2 - x^{(2)}_1}{t^{(2)}_2 - t^{(2)}_1} = \frac{\Delta x^{(2)}}{\Delta t^{(2)}}, 
		\quad v_y^{(2)} = \frac{y^{(2)}_2 - y^{(2)}_1}{t^{(2)}_2 - t^{(2)}_1} = \frac{\Delta y^{(2)}}{\Delta t^{(2)}}, 
		\quad v_z^{(2)} = \frac{z^{(2)}_2 - z^{(2)}_1}{t^{(2)}_2 - t^{(2)}_1}  = \frac{\Delta z^{(2)}}{\Delta t^{(2)}}
	\end{equation}
	在$S1$参考系中，观察到粒子的速度为：
	我们先计算$v_x^{(1)} $：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			v_x^{(1)} 
			&= \frac{\gamma (\beta ct^{(2)}_2 + x^{(2)}_2) - \gamma (\beta ct^{(2)}_1 + x^{(2)}_1)}{\gamma/c (ct^{(2)}_2 + \beta x^{(2)}_2) - \gamma/c (ct^{(2)}_1 + \beta x^{(2)}_1)} \\
			&= \frac{\beta c (\Delta t^{(2)}) + \Delta x^{(2)}}{\Delta t^{(2)} + \beta/c \Delta x^{(2)}} \qquad \text{(约去$\gamma$并使用 \(\Delta t^{(2)} = t^{(2)}_2 - t^{(2)}_1\) 和 \(\Delta x^{(2)} = x^{(2)}_2 - x^{(2)}_1\))} \\
			&= \frac{u + v_x^{(2)}}{1 + \frac{u v_x^{(2)}}{c^2}} \qquad \text{(上下同除以$\Delta t^{(2)}$)}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	$v_y^{(1)} $也好不到哪里去。虽然坐标系在$y$方向上没有相对运动，但是由于钟慢效应，观察到的速度仍不同：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			v_y^{(1)} 
			&= \frac{y^{(2)}_2 - y^{(2)}_1}{\gamma/c (ct^{(2)}_2 + \beta x^{(2)}_2) - \gamma/c (ct^{(2)}_1 + \beta x^{(2)}_1)} \\
			&= \frac{\Delta y^{(2)}}{\gamma ( \Delta t^{(2)} + \beta/c \Delta x^{(2)})} \\
			&= \frac{v_y^{(2)}}{\gamma (1 +\frac{uv_x^{(2)}}{c^2})} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	$v_z^{(1)} $同理：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			v_z^{(1)} 
			&= \frac{v_z^{(2)}}{\gamma (1 + \frac{uv_x^{(2)}}{c^2})} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	综上所述，
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			v_x^{(1)} &= \frac{u + v_x^{(2)}}{1 + \frac{u v_x^{(2)}}{c^2}}\\
			v_y^{(1)} &= \frac{v_y^{(2)}}{\gamma (1 + \frac{uv_x^{(2)}}{c^2})} \\
			v_z^{(1)} &= \frac{v_z^{(2)}}{\gamma (1 + \frac{uv_x^{(2)}}{c^2})} \\
		\end{cases}
	\end{equation}
	以上公式就是相对论速度叠加原理的具体表达。
	在相对论中，速度的叠加不再是简单的代数加法，特别当速度接近光速时。
	
	\newpage
	\section{附件：“推导”Lorentz变换}
	如果说狭义相对论的基本假设是狭义相对论的基石，那么应该能从这些基本假设中推导得到Lorentz变换。
	以下给出一个粗糙（但也许不是非常严谨的）的说明。
	个人感觉这个说明比较枯燥无味，因此留在附件进行。
	
	我们依然沿用上文的两个参考系$S1,S2$的假设，$S2$相对$S1$以速度$u$向右运动。
	同时，我们假设$t=0$时刻，一个光子从原点出发，以光速$c$往$x$正方向运动了一定时间。
	
	根据光速不变原理，在两个参考系中都看到光子的坐标为：
	$$
	x^{(1)} = c t^{(1)} \qquad x^{(2)} = c t^{(2)}
	$$
	（作为对比，在经典物理中，处于$S2$参考系的观察者可能会觉得光速低于$c$）
	此外，根据相对性原理及其暗含的空间均匀性假设，我们可以假定参考系的坐标变换满足线性关系：
	$$
	x^{(1)} = \gamma(x^{(2)} + v t^{(2)}) \qquad x^{(2)} = \gamma(x^{(1)} - v t^{(1)})
	$$
	非线性的坐标变换关系会违反空间的均匀性（已经有很多文章讨论了这个问题，不再赘述）。
	
	基于这$4$个公式，我们推导$\gamma$的形式。
	首先通过代换消去$x$，以得到仅关于$t$的公式：
	$$
	c t^{(1)} = \gamma(c t^{(2)} + v t^{(2)}) = \gamma(c  + v)t^{(2)} \qquad c t^{(2)} = \gamma(c - v)t^{(1)}
	$$
	这看起来不错，但问题在于这两个公式仍然同时包含 $t^{(1)}$ 和 $t^{(2)}$，而$\gamma$ 应该无关时间。于是，我们再次进行代换：
	$$
	c t^{(1)} = \gamma(c  + v)t^{(2)} =\gamma^2(c  + v) (c - v)t^{(1)}/c
	$$
	因此
	$$
	\gamma^2 = \frac{c^2}{(c  + v) (c - v)} = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \Rightarrow \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
	$$
	经过一番计算，我们终于得到了 $\gamma$ 的表达式，和前面提到的一模一样。看来，我们的推导过程至少在数学上是成立的。
	
\end{document}

